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這些筆記是我在2014年春季和2016年秋季在普林斯頓教的課程APC 550:高維概率。我的目的是盡可能地以一種連貫的方式介紹一組關于概率、分析和幾何交叉的思想，這些思想產生于不同領域的廣泛的當代問題。

高維的概率是什么?這個問題沒有好的答案。高維概率問題出現在科學、工程和數學的許多領域。一個(非常不完整的)列表可能包括:

? 大型隨機結構:隨機矩陣，隨機圖，…

? 統計和機器學習:高維數據的估計、預測和模型選擇。

? 計算機科學中的隨機算法。

? 信息理論中的隨機碼。

? 統計物理學:吉布斯測量、滲透、旋轉眼鏡……

? 隨機組合結構:最長增長子序列、生成樹、旅行推銷員問題……

? 巴拿赫空間的概率:巴拿赫值隨機變量的概率極限定理，經驗過程，巴拿赫空間的局部理論，幾何泛函分析，凸幾何

? 高維馬爾可夫鏈中的混合時間等現象。

這本書是哈佛大學Joseph K.Blitzstein 教授和斯坦福大學Jessica Hwang博士合著的新書《Introduction to probability》第二版預印版已公開。本書提供了對概率的介紹，并為理解統計、隨機性和不確定性奠定了基礎。

這本書提供了概率論的現代介紹，并為理解統計、隨機性和不確定性奠定了基礎。從基本的投幣和巧合的研究到谷歌PageRank和馬爾可夫鏈蒙特卡羅，本文探討了各種應用和實例。由于概率論通常被認為是一門反直覺的學科，因此給出了許多直觀的解釋、圖表和實踐問題。每一章的結尾都有一節展示如何在統計計算和模擬的自由軟件環境R中探索該章的思想。

概率論（英語：Probability theory）是集中研究概率及隨機現象的數學分支，是研究隨機性或不確定性等現象的數學。概率論主要研究對象為隨機事件、隨機變量以及隨機過程。對于隨機事件是不可能準確預測其結果的，然而對于一系列的獨立隨機事件——例如擲骰子、扔硬幣、抽撲克牌以及輪盤等，會呈現出一定的、可以被用于研究及預測的規律，兩個用來描述這些規律的最具代表性的數學結論分別是大數定律和中心極限定理。

二、主要內容 下面是這本書的一些目錄： 第一章：概率和統計 第二章：條件概率 第三章：隨機變量及其分布 第四章：期望 第五章：連續隨機變量 第六章：時刻 第七章：聯合分布 第八章：轉換 第九章：條件期望 第十章：不等式和極限定理 第十一章：馬爾可夫鏈 第十二章：馬爾可夫鏈蒙特卡羅 第十三章：泊松過程 第十四章：數學

這本書系統性講述了統計學理論，包括概率理論、分布式理論與統計模型，基本統計理論、貝葉斯理論、無偏點估計、最大似然統計推斷、統計假設與置信集、非參與魯棒推斷。

第一門課程以對統計中有用的測量論概率論的概念和結果的簡要概述開始。隨后討論了統計決策理論和推理中的一些基本概念。探討了估計的基本方法和原理，包括各種限制條件下的最小風險方法，如無偏性或等方差法，最大似然法，以及矩法和其他插件方法等函數法。然后詳細地考慮了貝葉斯決策規則。詳細介紹了最小方差無偏估計的方法。主題包括統計量的充分性和完全性、 Fisher信息、估計量的方差的界、漸近性質和統計決策理論，包括極大極小和貝葉斯決策規則。

第二門課程更詳細地介紹了假設檢驗和置信集的原理。我們考慮了決策過程的表征，內曼-皮爾森引理和一致最有力的測試，置信集和推理過程的無偏性。其他主題包括等方差、健壯性和函數估計。

除了數理統計的經典結果外，還討論了馬爾可夫鏈蒙特卡洛理論、擬似然、經驗似然、統計泛函、廣義估計方程、折刀法和自舉法。

//mason.gmu.edu/~jgentle/books/MathStat.pdf

這是我2004年，2006年和2009年在斯坦福大學教授的概率理論博士課程的講義。本課程的目標是為斯坦福大學數學和統計學系的博士生做概率論研究做準備。更廣泛地說，文本的目標是幫助讀者掌握概率論的數學基礎和在這一領域中證明定理最常用的技術。然后將此應用于隨機過程的最基本類的嚴格研究。

為此，我們在第一章中介紹了測度與積分理論中的相關元素，即事件的概率空間與格-代數、作為可測函數的隨機變量、它們的期望作為相應的勒貝格積分，以及獨立性的重要概念。

利用這些元素，我們在第二章中研究了隨機變量收斂的各種概念，并推導了大數的弱定律和強定律。

第三章討論了弱收斂的理論、分布函數和特征函數的相關概念以及中心極限定理和泊松近似的兩個重要特例。

基于第一章的框架，我們在第四章討論了條件期望的定義、存在性和性質，以及相關的規則條件概率分布。

第五章討論了過濾、信息在時間上的級數的數學概念以及相應的停止時間。關于后者的結果是作為一組稱為鞅的隨機過程研究的副產品得到的。討論了鞅表示、極大不等式、收斂定理及其各種應用。為了更清晰和更容易的表述，我們在這里集中討論離散時間的設置來推遲與第九章相對應的連續時間。

第六章簡要介紹了馬爾可夫鏈的理論，概率論的核心是一個龐大的主題，許多教科書都致力于此。我們通過研究一些有趣的特殊情況來說明這類過程的一些有趣的數學性質。

在第七章中，我們簡要介紹遍歷理論，將注意力限制在離散時間隨機過程的應用上。我們定義了平穩過程和遍歷過程的概念，推導了Birkhoff和Kingman的經典定理，并強調了該理論的許多有用應用中的少數幾個。

第八章建立了以連續時間參數為指標的右連續隨機過程的研究框架，引入了高斯過程族，并嚴格構造了布朗運動為連續樣本路徑和零均值平穩獨立增量的高斯過程。

第九章將我們先前對鞅和強馬爾可夫過程的處理擴展到連續時間的設定，強調了右連續濾波的作用。然后在布朗運動和馬爾可夫跳躍過程的背景下說明了這類過程的數學結構。

在此基礎上，在第十章中，我們利用不變性原理重新構造了布朗運動作為某些重新標定的隨機游動的極限。進一步研究了其樣本路徑的豐富性質以及布朗運動在clt和迭代對數定律(簡稱lil)中的許多應用。

//statweb.stanford.edu/~adembo/stat-310b/lnotes.pdf

概率論起源于17世紀的法國，當時兩位偉大的法國數學家，布萊斯·帕斯卡和皮埃爾·德·費馬，對兩個來自機會博弈的問題進行了通信。帕斯卡和費馬解決的問題繼續影響著惠更斯、伯努利和DeMoivre等早期研究者建立數學概率論。今天，概率論是一個建立良好的數學分支，應用于從音樂到物理的學術活動的每一個領域，也應用于日常經驗，從天氣預報到預測新的醫療方法的風險。

本文是為數學、物理和社會科學、工程和計算機科學的二、三、四年級學生開設的概率論入門課程而設計的。它提出了一個徹底的處理概率的想法和技術為一個牢固的理解的主題必要。文本可以用于各種課程長度、水平和重點領域。

在標準的一學期課程中，離散概率和連續概率都包括在內，學生必須先修兩個學期的微積分，包括多重積分的介紹。第11章包含了關于馬爾可夫鏈的材料，為了涵蓋這一章，一些矩陣理論的知識是必要的。

文本也可以用于離散概率課程。材料被組織在這樣一種方式，離散和連續的概率討論是在一個獨立的，但平行的方式，呈現。這種組織驅散了對概率過于嚴格或正式的觀點，并提供了一些強大的教學價值，因為離散的討論有時可以激發更抽象的連續的概率討論。在離散概率課程中，學生應該先修一學期的微積分。

為了充分利用文中的計算材料和例子，假設或必要的計算背景很少。所有在文本中使用的程序都是用TrueBASIC、Maple和Mathematica語言編寫的。

這本書沒有假設讀者在統計方面有任何預先訓練，這本書的第一部分描述了基本的統計原理，從一個觀點，使他們的缺點直觀和容易理解。重點是用語言和圖形來描述概念。第二部分描述了解決第一部分所涵蓋問題的現代方法。使用來自實際研究的數據，包括許多例子來說明傳統程序的實際問題，以及更多的現代方法如何能對統計研究的許多領域中得出的結論產生實質性的影響。

這本書的第二版包括了自從第一版出現以來發生的一些進展和見解。包括與中位數相關的新結果，回歸，關聯的測量，比較依賴組的策略，處理異方差的方法，以及效應量的測量。

這本書的第五版繼續講述如何運用概率論來深入了解真實日常的統計問題。這本書是為工程、計算機科學、數學、統計和自然科學的學生編寫的統計學、概率論和統計的入門課程。因此，它假定有基本的微積分知識。

第一章介紹了統計學的簡要介紹，介紹了它的兩個分支:描述統計學和推理統計學，以及這門學科的簡短歷史和一些人，他們的早期工作為今天的工作提供了基礎。

第二章將討論描述性統計的主題。本章展示了描述數據集的圖表和表格，以及用于總結數據集某些關鍵屬性的數量。

為了能夠從數據中得出結論，有必要了解數據的來源。例如，人們常常假定這些數據是來自某個總體的“隨機樣本”。為了確切地理解這意味著什么，以及它的結果對于將樣本數據的性質與整個總體的性質聯系起來有什么意義，有必要對概率有一些了解，這就是第三章的主題。本章介紹了概率實驗的思想，解釋了事件概率的概念，并給出了概率的公理。

我們在第四章繼續研究概率，它處理隨機變量和期望的重要概念，在第五章，考慮一些在應用中經常發生的特殊類型的隨機變量。給出了二項式、泊松、超幾何、正規、均勻、伽瑪、卡方、t和F等隨機變量。

作為布爾邏輯的替代

雖然邏輯是理性推理的數學基礎和計算的基本原理，但它僅限于信息既完整又確定的問題。然而，許多現實世界的問題，從金融投資到電子郵件過濾，本質上是不完整或不確定的。概率論和貝葉斯計算共同提供了一個處理不完整和不確定數據的框架。

不完全和不確定數據的決策工具和方法

貝葉斯編程強調概率是布爾邏輯的替代選擇，它涵蓋了為真實世界的應用程序構建概率程序的新方法。本書由設計并實現了一個高效概率推理引擎來解釋貝葉斯程序的團隊編寫，書中提供了許多Python示例，這些示例也可以在一個補充網站上找到，該網站還提供了一個解釋器，允許讀者試驗這種新的編程方法。

原則和建模

只需要一個基本的數學基礎，本書的前兩部分提出了一種新的方法來建立主觀概率模型。作者介紹了貝葉斯編程的原理，并討論了概率建模的良好實踐。大量簡單的例子突出了貝葉斯建模在不同領域的應用。

形式主義和算法

第三部分綜合了已有的貝葉斯推理算法的工作，因為需要一個高效的貝葉斯推理引擎來自動化貝葉斯程序中的概率演算。對于想要了解貝葉斯編程的形式主義、主要的概率模型、貝葉斯推理的通用算法和學習問題的讀者，本文提供了許多參考書目。

常見問題

第四部分連同詞匯表包含了常見問題的答案。作者比較了貝葉斯規劃和可能性理論，討論了貝葉斯推理的計算復雜性，討論了不完全性的不可約性，討論了概率的主觀主義和客觀主義認識論。

貝葉斯計算機的第一步

創建一個完整的貝葉斯計算框架需要新的建模方法、新的推理算法、新的編程語言和新的硬件。本書著重于方法論和算法，描述了實現這一目標的第一步。它鼓勵讀者探索新興領域，例如仿生計算，并開發新的編程語言和硬件架構。