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凸優化研究在凸集上最小化凸函數的問題。凸性，連同它的許多含義，已經被用來為許多類凸程序提出有效的算法。因此，凸優化已經廣泛地影響了科學和工程的幾個學科。

過去幾年，凸優化算法徹底改變了離散和連續優化問題的算法設計。對于圖的最大流、二部圖的最大匹配和子模函數最小化等問題，已知的最快算法涉及到對凸優化算法的基本和重要使用，如梯度下降、鏡像下降、內點方法和切割平面方法。令人驚訝的是，凸優化算法也被用于設計離散對象(如擬陣)的計數問題。同時，凸優化算法已經成為許多現代機器學習應用的中心。由于輸入實例越來越大、越來越復雜，對凸優化算法的需求也極大地推動了凸優化技術本身的發展。

這本書的目的是使讀者能夠獲得對凸優化算法的深入理解。重點是從第一性原理推導出凸優化的關鍵算法，并根據輸入長度建立精確的運行時間界限。由于這些方法的廣泛適用性，一本書不可能向所有人展示這些方法的應用。這本書展示了各種離散優化和計數問題的快速算法的應用。本書中所選的應用程序的目的是為了說明連續優化和離散優化之間的一個相當令人驚訝的橋梁。

目標受眾包括高級本科生、研究生和理論計算機科學、離散優化和機器學習方面的研究人員。

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第一章-連續優化和離散優化的銜接

我們提出了連續優化和離散優化之間的相互作用。最大流問題是一個激勵人心的例子。我們也追溯了線性規劃的歷史——從橢球法到現代內點法。最后介紹了橢球法在求解最大熵問題等一般凸規劃問題上的一些最新成果。

第二章 預備知識

我們復習這本書所需的數學基礎知識。這些內容包括多元微積分、線性代數、幾何、拓撲、動力系統和圖論中的一些標準概念和事實。

第三章-凸性

我們引入凸集，凸性的概念，并展示了伴隨凸性而來的能力:凸集具有分離超平面，子梯度存在，凸函數的局部最優解是全局最優解。

第四章-凸優化與效率

我們提出了凸優化的概念，并正式討論了它意味著什么，有效地解決一個凸程序作為一個函數的表示長度的輸入和期望的精度。

第五章-對偶性與最優性

我們引入拉格朗日對偶性的概念，并證明在一個稱為Slater條件的溫和條件下，強拉格朗日對偶性是成立的。隨后，我們介紹了拉格朗日對偶和優化方法中經常出現的Legendre-Fenchel對偶。最后，給出了Kahn-Karush-Tucker(KKT)最優性條件及其與強對偶性的關系。

第六章-梯度下降

我們首先介紹梯度下降法，并說明如何將其視為最陡下降。然后，我們證明了梯度下降法在函數的梯度是連續的情況下具有收斂時間界。最后，我們使用梯度下降法提出了一個快速算法的離散優化問題:計算最大流量無向圖。

第七章-鏡像下降和乘法權值更新

我們推出我們的凸優化的第二個算法-稱為鏡面下降法-通過正則化觀點。首先，提出了基于概率單純形的凸函數優化算法。隨后，我們展示了如何推廣它，重要的是，從它推導出乘法權值更新(MWU)方法。然后利用后一種算法開發了一個快速的近似算法來解決圖上的二部圖匹配問題。

第八章-加速梯度下降

提出了Nesterov的加速梯度下降算法。該算法可以看作是前面介紹的梯度下降法和鏡像下降法的混合。我們還提出了一個應用加速梯度法求解線性方程組。

第九章-牛頓法

IWe開始了設計凸優化算法的旅程，其迭代次數與誤差成對數關系。作為第一步，我們推導并分析了經典的牛頓方法，這是一個二階方法的例子。我們認為牛頓方法可以被看作是黎曼流形上的最速下降，然后對其收斂性進行仿射不變分析。

第十章 線性規劃的內點法

利用牛頓法及其收斂性，推導出一個線性規劃的多項式時間算法。該算法的關鍵是利用障礙函數的概念和相應的中心路徑，將有約束優化問題簡化為無約束優化問題。

第十一章-內點法的變種與自洽

給出了線性規劃中路徑遵循IPM的各種推廣。作為應用，我們推導了求解s-t最小代價流問題的快速算法。隨后，我們引入了自一致性的概念，并給出了多邊形和更一般凸集的障礙函數的概述。

第十二章 線性規劃的橢球法

介紹了凸優化的一類切割平面方法，并分析了一種特殊情況，即橢球體法。然后，我們展示了如何使用這個橢球方法來解決線性程序超過0-1多邊形時，我們只能訪問一個分離oracle的多邊形。

第十三章-凸優化的橢球法

我們展示了如何適應橢球法求解一般凸程序。作為應用，我們提出了子模函數最小化的多項式時間算法和計算組合多邊形上的最大熵分布的多項式時間算法。

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