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本文介紹了在一系列背景下進行因果參數推理的程序，包括觀察性研究、完全隨機化設計、配對實驗和協變量自適應設計。首先，我們討論了凸優化在匹配觀測研究中進行方向推斷和靈敏度分析的應用。我們設計了一種算法，使信噪比最大化，同時考慮了未觀察到的混雜。我們分析算法輸出的漸近分布行為，以發展因果效應的漸近有效假設檢驗。由此產生的程序在廣泛的程序類上達到最大的設計靈敏度。其次，我們研究了特征信息在完全隨機實驗中對效應進行高精度推斷的作用。本文構建了一種基于線性回歸的校正技術，該技術構造了估計量的漸近方差的上界。該校準程序適用于任何可能是半參數有效的填補估計器，并自動證明所產生的非線性回歸調整估計器至少與均值之差一樣漸近精確;在模型錯誤規范下，非線性回歸調整估計器先前沒有保證的一個特性。第三，我們引入了高斯預軸:一種構建檢驗統計量的算法技術，即使在零中違反隨機化假設的對稱性時，隨機化推理仍保持漸近有效。我們證明了基于預軸統計量的隨機化檢驗在銳利的零值下是有限樣本精確的，而在弱零值下它們漸近地控制了錯誤拒絕的概率。這允許形成具有同聲傳譯的處理效應的置信區域，作為齊次相加處理效應的精確置信區域和異質相加處理效應的漸近置信區域;從而統一費雪和內曼推理的許多實驗設計，包括重隨機實驗。第四，我們構建了重采樣算法的嵌套層次結構，該算法利用了超總體、固定協變量和有限總體模型中的概率結構，以促進完全隨機設計中各種統計數據的非參數推斷。重采樣算法通過利用回歸調整和最優傳輸的現代結果擴展了經典的自舉范例，在固定協變量和有限人口模型下實現了顯著的增益。

如果我們做A, Y會怎樣?許多有意義的社會和工程問題可以這樣表述:如果病人接受一種新的療法，他們的健康會發生什么變化?如果政策制定者制定一項新稅，會對一個國家的經濟產生什么影響?如果使用新的擁塞控制協議，數據中心的延遲會發生什么變化?我們將探討如何使用觀測數據(由于數字化和無處不在的傳感器，觀測數據越來越多)和/或非常有限的實驗數據來回答這些反事實的問題。兩個關鍵挑戰是:(i)存在潛在混雜因素的反事實預測;(ii)用高維、噪聲和稀疏的現代數據集進行估計。我們介紹的關鍵框架是將因果推理與張量補全聯系起來。特別地，我們通過一個3階張量來表示感興趣的各種潛在結果(即反事實)。給出的主要理論結果是:(i)確定在什么張量的缺失模式、潛在混雜和結構下可能恢復未觀察到的潛在結果的形式化識別結果。(ii)引入新的估計量來恢復這些未觀察到的潛在結果，并證明它們是有限樣本一致和漸近正態的。最后，我們討論了矩陣/張量補全與時間序列分析之間的聯系;我們相信這可以作為反事實預測的基礎。//dspace.mit.edu/handle/1721.1/144576

這本教科書介紹了Banach空間中優化問題的凸對偶性、積分理論，以及它們在靜態或動態設置中的隨機規劃問題的應用。對隨機規劃的主要算法進行了介紹和分析，并對理論方面進行了細致的論述。 讀者展示了如何這些工具可以應用到各種領域，包括近似理論，半定和二階錐規劃和線性決策規則。 本書推薦給那些愿意用嚴格的方法來研究對偶理論在不確定性優化中的應用中的數學的學生、工程師和研究人員。

凸優化工具箱本章在巴拿赫空間中，通過極大極小法和攝動法，給出優化問題的對偶理論。在一些穩定性(限定)假設下，證明了對偶問題具有一個非空有界解集。這就引出了次微分學，這似乎只是一個偏次微分法則。提供了應用的十進制卷積，以及衰退和透視函數。利用Shapley-Folkman定理，分析了一些非凸問題的松弛性。

半定規劃與半無限規劃本章討論正半定矩陣錐上的最優化問題，以及這類線性問題的對偶理論。我們將凸旋轉不變矩陣函數與譜的凸函數聯系起來;這使得我們可以計算對數勢壘函數的共軛和相關優化問題的對偶。給出了具有非凸二次型代價和約束的半定松弛問題。證明了二階錐優化是半定規劃的一個子類。第二部分研究有限支撐測度空間中的半無限規劃及其對偶問題，并應用于Chebyshev近似和一維多項式優化問題。 集成工具箱本章簡明地介紹了一般測度空間中的積分理論，包括關于積分極限的經典定理。它擴展了在巴拿赫空間中具有值的可測函數所需要的波奇納積分。然后，它展示了如何計算積分泛函的共軛和子微分，無論是在凸情況下，基于凸被積函數理論，或在Carathéodory被積函數的情況下。然后利用Shapley-Folkman定理分析了具有積分代價和約束函數的優化問題。

**風險度量 **將期望最小化幾乎無法控制遠低于期望值的回報的風險。因此，設計函數是很有用的，其最小化將允許人們在風險和期望值之間進行權衡。本章簡要介紹了相應的風險度量理論。在介紹了效用函數之后，引入了風險的貨幣度量，并與它們的接受集相聯系。然后討論了偏差和半偏差的情況，以及(條件)風險值。

抽樣和優化本章討論的不是最小化期望，而是最小化通過獲得獨立事件的樣本得到的樣本近似時會發生什么。該分析依賴于漸近定律理論(δ定理)及其在隨機規劃中的應用。我們將結果推廣到期望約束的情況。

動態隨機優化動態隨機優化問題具有以下信息約束:每個決策必須是相應時刻可用信息的函數。這可以表示為包含條件期望的線性約束。本章在充分觀察狀態的情況下發展了凸問題的相應理論。由此得到的最優系統涉及一個后向共態方程，控制變量是某個哈密頓函數的最小值點.

馬爾可夫決策過程

本章考慮一個受控馬爾可夫鏈過程的最小回報期望問題，無論是有限范圍的馬爾可夫鏈過程，還是有折扣的無限馬爾可夫鏈過程，包括退出時間和停止決策的情況。比較了值和策略(Howard)迭代。對于具有期望約束、局部觀察的問題，對于具有無折現代價的大視界問題的遍歷情況，給出了這些結果的推廣。 算法對于凸的動態隨機優化問題，Bellman函數是凸的，可以近似為仿射函數的有限上極值。從靜態和確定性問題開始，展示了這如何導致有效的隨機對偶動態規劃算法。本章第二部分討論了線性決策規則的一種很有前途的方法，它使我們可以得到隨機優化問題的值函數的上下界。

廣義凸性與運輸理論

本章首先介紹了用任意集上的一般耦合函數代替對偶積時凸性理論的推廣。優化問題的Fenchel共軛、循環單調性和對偶性的概念，對這種設置有一個自然的擴展，其中增廣拉格朗日方法有一個自然的解釋。度量空間上的凸函數，構造為連續函數的積分函數的Fenchel共軛，有時被證明等于其密度的函數的某個積分。這被用于在緊集上的最優運輸理論的表述，以及相關的懲罰問題。本章最后討論了多傳輸環境。

迭代方法，尤其是凸優化方法，構成了許多現代算法的基礎。這類方法的成功依賴于它們的通用性:像梯度下降法和牛頓法這樣的方法通常只需要對目標進行最小的假設就能收斂到高質量的最小化。然而，在許多現實環境中，這些算法所獲得的理論保證在實踐中往往是不夠的。本文通過開發凸優化方法和利用問題特定結構的圖算法來解決這個問題。

//searchworks.stanford.edu/view/14239649

第一部分給出了求解拉普拉斯線性系統的最先進算法，以及求解最小成本流的更快算法。我們的結果是通過新穎的組合經典迭代方法，從凸優化與基于圖的數據結構和預調節器。第二部分給出了若干類結構凸優化問題的新算法。給出了凸函數極小化的近似最優方法，包括球優化oracle和N個凸函數的最大值極小化，以及投影極小化和復合凸極小化的新算法。我們的結果是通過對經典加速梯度方法的更精細的理解實現的，并為各種重要的機器學習任務，如邏輯回歸和硬邊界支持向量機提供了新的算法。第三部分討論了離散最優傳輸問題算法的進展，這是一個近年來由于深度學習的新應用而引起極大興趣的任務。我們給出了簡單的并行算法來逼近離散最優傳輸，并進一步證明了這些算法可以在空間界和流設置中實現。通過進一步利用我們的機制，我們還對半流模型中的圖優化問題(如二部匹配和轉運)給出了改進的復雜度邊界。

強化學習(Reinforcement learning, RL)是一種學習復雜決策策略的通用而強大的解決方案，為游戲和機器人等多個領域的近期成功提供了關鍵的基礎。然而，許多最先進的算法需要大量的數據，計算成本很高，需要大量的數據才能成功。雖然這在某些情況下是可能的，例如在可用數據稀少的社會科學和醫療健康應用程序中，這自然會昂貴或不可行的。隨著人們對將RL應用到更廣泛的領域的興趣的激增，對其算法設計中涉及的數據的使用形成一種明智的觀點是勢在必行的。

因此，本文主要從結構的角度研究RL的數據效率。沿著這個方向發展自然需要我們理解算法何時以及為什么會成功;并在此基礎上進一步提高數據挖掘的數據效率。為此，本文首先從實證成功案例中汲取啟示。我們考慮了基于模擬的蒙特卡洛樹搜索(MCTS)在RL中的流行，以AlphaGo Zero的卓越成就為例，并探討了納入這一關鍵成分的數據效率。具體來說，我們研究了使用這種樹結構來估計值和描述相應數據復雜性的正確形式。這些結果進一步使我們能夠分析將MCTS與監督學習相結合的RL算法的數據復雜性，就像在AlphaGo Zero中所做的那樣。

有了更好的理解之后，下一步，我們改進了基于模擬的數據高效RL算法的算法設計，這些算法可以訪問生成模型。我們為有界空間和無界空間都提供了這樣的改進。我們的第一個貢獻是通過一個新穎的低秩表示Q函數的結構框架。提出的數據高效的RL算法利用低秩結構，通過一種新的矩陣估計技術，只查詢/模擬狀態-動作對的一個子集來執行偽探索。值得注意的是，這導致了數據復雜度的顯著(指數級)提高。說到我們對無界空間的努力，我們必須首先解決無界域引起的獨特的概念挑戰。受經典排隊系統的啟發，我們提出了一個適當的穩定性概念來量化策略的“好”。隨后，通過利用底層系統的穩定性結構，我們設計了高效、自適應的算法，采用改進的、高效的蒙特卡洛oracle，以良好的數據復雜度(對感興趣的參數是多項式)保證了所需的穩定性。總之，通過新的分析工具和結構框架，本文有助于數據高效的RL算法的設計和分析。

//dspace.mit.edu/handle/1721.1/138930

圖論因其在計算機科學、通信網絡和組合優化方面的應用而成為一門重要的學科。它與其他數學領域的互動也越來越多。雖然這本書可以很好地作為圖表理論中許多最重要的主題的參考，但它甚至正好滿足了成為一本有效的教科書的期望。主要關注的是服務于計算機科學、應用數學和運籌學專業的學生，確保滿足他們對算法的需求。在材料的選擇和介紹方面，已試圖在基本的基礎上容納基本概念，以便對那些剛進入這一領域的人提供指導。此外，由于它既強調定理的證明，也強調應用，所以應該先吸收主題，然后對主題的深度和方法有一個印象。本書是一篇關于圖論的綜合性文章，主題是有組織的、系統的。這本書在理論和應用之間取得了平衡。這本書以這樣一種方式組織，主題出現在完美的順序，以便于學生充分理解主題。這些理論已經用簡單明了的數學語言進行了描述。這本書各方面都很完整。它將為主題提供一個完美的開端，對主題的完美理解，以及正確的解決方案的呈現。本書的基本特點是，概念已經用簡單的術語提出，并詳細解釋了解決過程。

這本書有10章。每一章由緊湊但徹底的理論、原則和方法的基本討論組成，然后通過示例進行應用。本書所介紹的所有理論和算法都通過大量的算例加以說明。這本書在理論和應用之間取得了平衡。第一章介紹圖。第一章描述了同構、完全圖、二部圖和正則圖的基本和初等定義。第二章介紹了不同類型的子圖和超圖。本章包括圖形運算。第二章還介紹了步行、小徑、路徑、循環和連通或不連通圖的基本定義。第三章詳細討論了歐拉圖和哈密頓圖。第四章討論樹、二叉樹和生成樹。本章深入探討了基本電路和基本割集的討論。第五章涉及提出各種重要的算法，在數學和計算機科學中是有用的。第六章的數學前提包括線性代數的第一個基礎。矩陣關聯、鄰接和電路在應用科學和工程中有著廣泛的應用。第七章對于討論割集、割頂點和圖的連通性特別重要。第八章介紹了圖的著色及其相關定理。第九章著重介紹了平面圖的基本思想和有關定理。最后，第十章給出了網絡流的基本定義和定理。

本文解釋了如何使用數學模型和方法來分析計算機科學中出現的問題。證明在這項工作中扮演了一個中心角色，因為作者與大多數數學家共享一個信念，證明是真正的理解必不可少的。證明在計算機科學中也扮演著越來越重要的角色;它們被用來證明軟件和硬件將始終正確地運行，這是任何測試都無法做到的。

簡單地說，證明是建立真理的一種方法。就像美一樣，“真理”有時取決于觀察者的眼光，在不同領域中構成證明的東西是不同的，這不足為奇。例如，在司法制度中，法律真理是由陪審團根據庭審中提供的可允許的證據來決定的。在商業世界中，權威真理是由一個值得信任的人或組織指定的，或者可能只是你的老板。在物理學或生物學等領域，科學真理是通過實驗來證實的在統計學中，可能真理是通過對樣本數據的統計分析來確定的。

哲學證明通常需要基于一系列看似合理的小論點進行仔細的闡述和說服。最好的例子是“Cogito ergo sum”，這是一句拉丁文，翻譯過來是“我思故我在”。這句話出自17世紀數學家/哲學家勒內·笛卡爾的一篇文章的開頭，它也是世界上最著名的名言之一:在網上搜索它，你就會被搜索到。

本課程提供面向計算機科學與工程的離散數學的互動介紹。主題大致分為三部分:

• 數學的基本概念:定義，證明，集合，函數，關系。
• 離散結構:圖，狀態機，模算術，計數。
• 離散型概率理論。

【導讀】倫敦帝國理工學院教授Michael Bronstein等人撰寫了一本關于幾何深度學習系統性總結的書，提出從對稱性和不變性的原則推導出不同的歸納偏差和網絡架構。非常值得關注！

幾何深度學習是一種從對稱性和不變性的角度對大量ML問題進行幾何統一的嘗試。這些原理不僅奠定了卷積神經網絡的突破性性能和最近成功的圖神經網絡的基礎，而且也提供了一種原則性的方法來構建新型的問題特定的歸納偏差。

在本文中，我們做了一個適度的嘗試，將Erlangen項目的思維模式應用到深度學習領域，最終目標是獲得該領域的系統化和“連接點”。我們將這種幾何化嘗試稱為“幾何深度學習”，并忠實于Felix Klein的精神，提出從對稱性和不變性的原則推導出不同的歸納偏差和網絡架構。特別地，我們將重點放在一類用于分析非結構集、網格、圖和流形的神經網絡上，并表明它們可以被統一地理解為尊重這些域的結構和對稱性的方法。

我們相信這篇文章將吸引深度學習研究人員、實踐者和愛好者的廣泛受眾。新手可以用它來概述和介紹幾何深度學習。經驗豐富的深度學習專家可能會發現從基本原理推導熟悉架構的新方法，也許還會發現一些令人驚訝的聯系。實踐者可以獲得如何解決各自領域問題的新見解。

一些重要論述：

• 我們研究了流行的深度學習架構(CNNs, GNNs, transformer, LSTMs)的本質，并意識到，只要有一組合適的對稱，我們就可以等價它們，它們都可以用一個通用的幾何框架來表達。

• 更進一步，我們在一些不太標準的領域(如同質群和流形)上使用了我們的框架，這表明框架可以很好地表達這些領域的最新進展，如球形CNN, SO(3)-變換器，和規范-等變網格CNNs。

• 幾何深度學習的“5G”:網格、組(具有全局對稱性的齊次空間)、圖(以及作為特定情況的集)和流形，其中幾何先驗通過全局等距不變(可以用測地線表示)和局部規范對稱來表現。

本書將側重于統計學習和序列預測(在線學習)的理論方面。在本筆記的第一部分，我們將使用經典的工具:集中不等式、隨機平均、覆蓋數字和組合參數來分析學習的i.i.d.數據。然后，我們將重點放在序列預測上，并開發許多用于在此場景中學習的相同工具。后一部分是基于最近的研究，并提出了進一步研究的方向。我們在整個課程中強調的極大極小方法，提供了一種比較學習問題的系統方法。除了理論分析，我們將討論學習算法，特別是學習和優化之間的重要聯系。我們的框架將處理開發接近最優和計算效率的算法。我們將用矩陣補全、鏈路預測等問題來說明這一點。如果時間允許，我們將深入了解信息理論和博弈論，并展示我們的新工具如何無縫地產生許多有趣的結果。

這是一本關于理論計算機科學的本科入門課程的教科書。這本書的教育目的是傳達以下信息:

? 這種計算出現在各種自然和人為系統中，而不僅僅是現代的硅基計算機中。 ? 類似地，除了作為一個極其重要的工具，計算也作為一個有用的鏡頭來描述自然，物理，數學，甚至社會概念。 ? 許多不同計算模型的普遍性概念，以及代碼和數據之間的二元性相關概念。 ? 一個人可以精確地定義一個計算的數學模型，然后用它來證明(有時只是猜測)下界和不可能的結果。 ? 現代理論計算機科學的一些令人驚訝的結果和發現，包括np完備性的流行、交互作用的力量、一方面的隨機性的力量和另一方面的去隨機化的可能性、在密碼學中“為好的”使用硬度的能力，以及量子計算的迷人可能性。