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矩陣代數是數據分析和統計理論中最重要的數學領域之一。這本書的第一部分為統計中的應用提出矩陣代數的理論的相關方面。本部分從向量和向量空間的基本概念開始，接著介紹矩陣的基本代數性質，然后描述向量和矩陣在多元演算中的解析性質，最后討論線性系統解和特征分析中矩陣的運算。這部分基本上是獨立的。

本書的第二部分開始考慮在統計中遇到的各種類型的矩陣，例如投影矩陣和正定矩陣，并描述這些矩陣的特殊性質。第二部分也介紹了矩陣理論在統計中的一些應用，包括線性模型、多元分析和隨機過程。本部分說明了在本書第一部分中發展的矩陣理論。書的前兩個部分可以作為為統計學生的矩陣代數課程的文本，或作為在線性模型或多元統計的各種課程的補充文本。

這本書的第三部分涵蓋了數值線性代數。它以數值計算的基礎討論開始，然后描述精確和有效的算法因式分解矩陣，求解線性方程組，并提取特征值和特征向量。雖然這本書沒有捆綁到任何特定的軟件系統，它描述并給出了使用數字線性代數的現代計算機軟件的例子。這部分基本上是自包含的，盡管它假設有一些能力用Fortran或C編程和/或使用R/S-Plus或Matlab的能力。書的這一部分可以作為在統計計算中的一門課程的文本使用，或者作為強調計算的各種課程的補充文本。

這本書包括大量的練習，并在附錄中提供了一些解決方案。

James E. Gentle是喬治梅森大學計算統計學教授。他是美國統計協會(ASA)和美國科學促進會的會員。他曾在美國標準局擔任過幾個國家職務并擔任過美國標準局期刊的副主編以及其他統計和計算期刊的副主編。他是隨機數生成和蒙特卡羅方法，第二版，和計算統計元素的作者。

強化學習定義了僅通過行動和觀察來學習做出好的決策的代理所面臨的問題。為了成為有效的問題解決器，這些代理必須能有效地探索廣闊的世界，從延遲的反饋中分配信用，并歸納出新的經驗，同時要利用有限的數據、計算資源和感知帶寬。抽象對所有這些努力都是必要的。通過抽象，代理可以形成其環境的簡潔模型，以支持一個理性的、自適應的決策者所需要的許多實踐。在這篇論文中，我提出了強化學習中的抽象理論。首先，我提出了執行抽象過程的函數的三個要求:它們應該1)保持近似最優行為的表示，2) 有效地被學習和構造，3) 更低的規劃或學習時間。然后，我提出了一套新的算法和分析，闡明了代理如何根據這些需求學習抽象。總的來說，這些結果提供了一條通向發現和使用抽象的部分路徑，將有效強化學習的復雜性降到最低。

強化學習問題如下。RL代理通過以下兩個離散步驟的無限重復與環境進行交互:

1. 代理收到觀察和獎勵。
2. 代理從這種交互中學習并執行一個動作。 這個過程如圖1.2所示。在這種互動過程中，agent的目標是做出決策，使其獲得的長期報酬最大化。

論文余下組織如下： 第1部分。在第2章中，我提供了關于RL(2.1節)以及狀態抽象(2.2節)和動作抽象(2.3節)的必要背景知識。

第2部分。下一部分將專注于狀態抽象。我提出了新的算法和三個緊密相連的分析集，每一個目標是發現滿足引入的需求的狀態抽象。在第3章中，我開發了一個形式化的框架來推理狀態抽象，以保持近似最優的行為。這個框架由定理3.1總結，它強調了值保持狀態抽象的四個充分條件。然后，在第4章中，我將這一分析擴展到終身RL設置，在終身RL設置中，代理必須不斷地與不同的任務交互并解決不同的任務。本章的主要觀點是介紹了用于終身學習設置的PAC狀態抽象，以及澄清如何有效計算它們的結果。定理4.4說明了保證這些抽象保持良好行為的意義，定理4.5說明了有多少以前已解決的任務足以計算PAC狀態抽象。我著重介紹了模擬實驗的結果，這些結果說明了所介紹的狀態抽象類型在加速學習和計劃方面的效用。最后，第五章介紹了信息論工具對狀態抽象的作用。我提出了狀態抽象和率失真理論[283,43]和信息瓶頸方法[318]之間的緊密聯系，并利用這種聯系設計新的算法，以高效地構建狀態抽象，優雅地在壓縮和良好行為表示之間進行權衡。我以各種方式擴展了這個算法框架，說明了它發現狀態抽象的能力，這些狀態抽象提供了良好行為的樣本高效學習。

第3部分。然后我轉向行動抽象。在第6章中，我展示了Jinnai等人的分析[144]，研究了尋找盡可能快地做出計劃的抽象動作的問題——主要結果表明，這個問題通常是NP困難的(在適當簡化的假設下)，甚至在多項式時間內很難近似。然后，在第7章中，我解決了在規劃中伴隨高層次行為構建預測模型的問題。這樣的模型使代理能夠估計在給定狀態下執行行為的結果。在本章中，我將介紹并分析一個用于這些高級行為的新模型，并證明在溫和的假設下，這個簡單的替代仍然是有用的。我提供的經驗證據表明，新的預測模型可以作為其更復雜的對等物的適當替代者。最后，在第8章中，我探討了抽象行動改善探索過程的潛力。我描述了Jinnai等人開發的一種算法[145]，該算法基于構建可以輕松到達環境所有部分的抽象行動的概念，并證明該算法可以加速對基準任務的探索。

第4部分。最后，我轉向狀態動作抽象的聯合過程。在第9章中，我介紹了一個將狀態和動作抽象結合在一起的簡單機制。使用這個方案，然后我證明了哪些狀態和動作抽象的組合可以在任何有限的MDP中保持良好的行為策略的表示，定理9.1總結了這一點。接下來，我將研究這些聯合抽象的反復應用，作為構建分層抽象的機制。在對層次結構和底層狀態動作抽象的溫和假設下，我證明了這些層次結構也可以保持全局近最優行為策略的表示，如定理9.3所述。然后，我將在第十章中總結我的思考和今后的方向。

總的來說，這些結果闡明了強化學習的抽象理論。圖1.4展示了本文的可視化概述。

機器學習中部分非凸和隨機優化算法研究

機器學習是一門多領域交叉學科，涉及概率論、統計學、逼近論、凸分析、算 法復雜度理論等多門學科。算法理論與應用是機器學習中最為重要的核心之一。其中一階優化算法因其簡單有效性，而被廣泛研究與應用。另一方面由于近年來 數據規模的不斷增大，數據集的規模使得二階或更高階的算法應用受阻。這使得 一階算法進一步成為機器學習的研究重點。隨著機器學習中問題模型的不斷擴張， 例如深度學習，非凸問題和模型也激發了學者們廣泛的研究興趣。這使得研究非 凸算法顯得更加急迫。而且由于數據集的龐大性，確定算法難以逃出鞍點，因此 隨機算法受到了史無前例的關注。本文主要結果可以歸納如下：

一、研究了三種 ADMM 算法。第一個 ADMM 的工作是關于一般的 ADMM 收 斂性分析統一框架。在此框架下，很多現有的 ADMM 收斂性分析可以歸納進該 框架。除了現有的 ADMM 算法，根據統一框架還能夠設計出新的 ADMM 算法。第二個和第三個 ADMM 都是針對結構非凸優化問題提出的：一個是針對泛 ?q 正 則化約束優化問題，而另一個是針對 ?1?2 正則化約束優化。給出了后面兩種非凸 ADMM 算法的收斂性分析，所得到的結果可以指導用戶選擇合適的超參數。

二、研究了兩種一階優化領域常用的非精確算法。第一種是非精確的加速算 法。相較于之前的研究，該算法的假設更為真實。而且還囊括了一大類隨機噪聲 的情況，使得算法更為實用。而機器學習中的一階催化劑算法由于是該加速算法 帶上了隨機噪聲，因此可以看做本算法的特例。在第二部分給出了非精確非凸算 法的收斂性框架理論。可以被廣泛應用到各種一階非凸算法。

三、證明了在有界和無界延遲以及隨機和確定性塊選擇下異步并行梯度下降法 的收斂結果。這些結果不需要迄今為止絕大多數其他工作中出現的獨立性假設。這是由于本文使用了 Lyapunov 函數技術，可直接處理延遲，而不是像之前的工作 一樣僅僅將它們建模為噪聲。

四、分析了馬爾可夫鏈隨機梯度下降法，其中樣本采用了某個馬爾可夫鏈的軌跡。主要貢獻之一是給出了馬爾可夫鏈隨機梯度下降法的在凸情況下的非遍歷收 斂分析。結果然后擴展到不精確的格式。這種分析使得能夠建立不可逆有限狀態 馬爾可夫鏈和非凸最小化問題的收斂性。這樣的結果適用于不知道具體的概率分 布，但可以通過馬爾可夫鏈進行采樣的情形。

在本論文中，我們研究了兩類涉及大規模稀疏圖的問題，即圖數據的壓縮問題和網絡中的負載均衡問題。我們利用局部弱收斂的框架，或所謂的目標方法來實現這一點。這個框架提供了一個觀點，使人們能夠理解稀疏圖的平穩隨機過程的概念。

利用局部弱收斂框架，我們引入了有根圖上概率分布的熵概念。這是Bordenave和Caputo將熵概念推廣到頂點和邊帶有標記的圖上。這樣的標記可以表示關于真實數據的信息。這種熵的概念可以看作是稀疏圖數據世界中香農熵率的自然對應。我們通過介紹一種用于稀疏標記圖的通用壓縮方案來說明這一點。此外，我們研究了圖數據的分布式壓縮。特別地，我們介紹了一個關于稀疏標記圖的Slepian-Wolf定理的版本。

除了研究壓縮問題外，我們還研究了網絡中的負載均衡問題。我們通過將問題建模為超圖來實現這一點，其中每個超邊表示承載一個單元負載的任務，而每個頂點表示一個服務器。配置是分配此負載的一種方式。我們研究平衡分配，粗略地說，就是沒有需求希望改變其分配的分配。將局部弱收斂理論推廣到超圖，研究了均衡分配的某些漸近行為，如典型服務器上的漸近經驗負荷分布，以及最大負荷的漸近性。

本文所研究的問題可以作為實例來說明局部弱收斂理論和上述熵概念的廣泛適用性。事實上，這個框架為稀疏標記圖提供了平穩隨機過程的觀點。時間序列理論在控制理論、通信、信息論和信號處理等領域有著廣泛的應用。可以預料，平穩隨機過程的組合結構理論，特別是圖形，將最終有類似廣泛的影響。

//www2.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/2020/EECS-2020-166.html

論文標題：A Block Decomposition Algorithm for Sparse Optimization 論文鏈接：//arxiv.org/pdf/1905.11031.pdf 相關資料（代碼/PPT/相關論文）：

稀疏優化由于其內在的組合結構，一般比較難求解。組合搜索方法可以獲得其全局最優解，但往往局限于小規模的優化問題；坐標下降方法速度快，但往往陷入于一個較差的局部次優解中。

我們提出一種結合組合搜索和坐標下降的塊 K 分解算法。具體地說，我們考慮隨機策略或/和貪婪策略，選擇 K 個坐標作為工作集，然后基于原始目標函數對工作集坐標進行全局組合搜索。我們對塊 K 分解算法進行了最優性分析，我們證明了我們的方法比現有的方法找到更強的穩定點。

此外，我們還對算法進行了收斂性分析，并構建其收斂速度。大量的實驗表明，我們的方法目前取得的性能臻于藝境。我們的塊 K 分解算法的工作發表在國際人工智能會議 SIGKDD 2020 和 CVPR 2019 上。

低秩稀疏矩陣優化問題是一類帶有組合性質的非凸非光滑優化問題. 由于零模與秩函數 的重要性和特殊性, 這類 NP-難矩陣優化問題的模型與算法研究在過去?幾年里取得了長足發 展. 本文從稀疏矩陣優化問題、低秩矩陣優化問題、低秩加稀疏矩陣優化問題、以及低秩張量 優化問題四個方面來綜述其研究現狀; 其中, 對稀疏矩陣優化問題, 主要以稀疏逆協方差矩陣估 計和列稀疏矩陣優化問題為典例進行概述, 而對低秩矩陣優化問題, 主要從凸松弛和因子分解 法兩個角度來概述秩約束優化和秩 (正則) 極小化問題的模型與算法研究. 最后，總結了低秩 稀疏矩陣優化研究中的一些關鍵與挑戰問題, 并提出了一些可以探討的問題。

//bicmr.pku.edu.cn/~wenzw/paper/review_lowrank20200321.pdf

【導讀】生成式對抗網絡（Generative Adversarial Networks，GANs）作為近年來的研究熱點之一，受到了廣泛關注，每年在機器學習、計算機視覺、自然語言處理、語音識別等上大量相關論文發表。密歇根大學Jie Gui博士等人近期發布了《A Review on Generative Adversarial Networks: Algorithms, Theory, and Applications》，包括28頁pdf，這篇綜述論文對460余篇論文進行了嘗試從算法，理論和應用的角度對各種GANs方法進行敘述。

【摘要】生成對抗網絡（GANs）是最近的熱門研究主題。自2014年以來，人們對GAN進行了廣泛的研究，并且提出了許多算法。但是，很少有全面的研究來解釋不同GANs變體之間的聯系以及它們是如何演變的。在本文中，我們嘗試從算法，理論和應用的角度對各種GANs方法進行敘述。首先，詳細介紹了大多數GANs算法的動機，數學表示形式和結構。此外，GANs已與其他機器學習算法結合用于特定應用，例如半監督學習，遷移學習和強化學習。本文比較了這些GANs方法的共性和差異。其次，研究了與GANs相關的理論問題。第三，說明了GANs在圖像處理和計算機視覺，自然語言處理，音樂，語音和音頻，醫學領域以及數據科學中的典型應用。最后，指出了GANs未來的開放性研究問題。

1. 概述

對抗生成網絡已經成為了一個研究熱點。深度學習領域的傳奇人物Yann LeCun 在Quora上發帖稱:“GANs是過去10年機器學習領域最有趣的想法。”從谷歌學術上可以發現，有大量和GANs相關的論文。例如，2018年大約有11800篇關于GANs的論文。也就是說，2018年，每天大約有32篇論文，每小時有超過一篇論文與GANs有關。GANs有兩部分組成：生成器和判別器。這兩個模型都由神經網絡實現，該系統可以將數據從一個空間映射到另一個空間。生成器嘗試捕獲真實數據的分布，以生成新的數據。鑒別器通常是一個二進制分類器，要求盡可能準確地從真實的例子中鑒別出生成的例子。GANs的優化是一個最大最小優化問題。優化終止于一個鞍點，該鞍點相對于生成器是最小值，相對于鑒別器是最大值。也就是說，當優化達到Nash equilibrium的目標時，這時可以認為生成器捕獲了真實數據的真實分布。本文和先前的關于GANS的綜述之間的區別主要有以下幾點： 1）GANs的具體應用：將GANs用于諸如圖像合成和編輯，音頻增強和合成等具體領域。 2）關于GANs的綜合評述：最早關于GANs的相關綜述是Wang et al.整理的，該論文主要介紹了2017年以前GANs 的發展進程。Z.Wang所作的“Generative adversarial networks: A survey and taxonomy”主要介紹了GANs在計算機視覺領域中的各種變體以及變體的損失函數。

到目前為止，本文是第一個從算法，理論和應用的角度為GANs提供一個全面的綜述，并且介紹了GANs的最新的進展。再者，我們不僅關注GANs在圖像處理和計算機視覺上的應用，而且關注了GANs在諸如自然語言處理和其他如醫療領域等相關領域中的序列數據上的應用。

2.章節內容

• 章節1：論文摘要和介紹
• 章節2：介紹相關工作
• 章節3-5：分別從算法，理論和應用的角度介紹GCNs
• 章節6：對開放性問題進行探討
• 章節7：總結

3. 各種相關的GANs算法

在章節3中，我們首先介紹原始的GANs。然后介紹各種具有代表性的變體和GANs的訓練，評估方式以及任務驅動的GANs（如下圖所示）。

GAN代表性算法

4. GANs的具體應用

GANs是一個強有力的生成式模型，該模型可以用一個隨機向量生成看起來完全和真實樣例一樣的數據。訓練過程中我們既不需要明確的知道真實數據的分布也不需要任何數學假設。基于GANs的顯著優勢，GANs被廣泛應用于圖像處理，計算機視覺和序列數據上（具體見下表）。

5. GANs的開放研究問題

• 離散數據GAN GANs for discrete data
• New Divergences
• 不確定性估計 Estimation uncertainty
• 理論 Theory
• 其他

摘要：

本文將優化描述為一個過程。在許多實際應用中，環境是如此復雜，以致于無法制定一個全面的理論模型，并使用經典算法理論和數學優化。采取一種穩健的方法是必要的，也是有益的，方法是應用一種不斷學習的優化方法，在觀察到問題的更多方面時從經驗中學習。這種將優化視為一個過程的觀點在各個領域都很突出，并在建模和系統方面取得了一些驚人的成功，現在它們已經成為我們日常生活的一部分。

作者介紹：

Elad Hazan是普林斯頓大學計算機科學教授。他于2015年從Technion畢業，當時他是該校運籌學副教授。他的研究重點是機器學習和優化的基本問題的算法設計和分析。他的貢獻包括合作開發用于訓練學習機器的AdaGrad算法，以及第一個用于凸優化的次線性時間算法。他曾(兩次)獲得2012年IBM Goldberg最佳論文獎，以表彰他對機器學習的次線性時間算法的貢獻。2008年，他還獲得了歐洲研究理事會(European Research Council)的一筆撥款、瑪麗?居里(Marie Curie)獎學金和谷歌研究獎(兩次)。他是計算學習協會的指導委員會成員，并擔任COLT 2015的項目主席。

//www.cs.princeton.edu/~ehazan/

簡介： 生成對抗網絡（GANs）是最近的熱門研究主題。自2014年以來，人們對GAN進行了廣泛的研究，并且提出了許多算法。但是，很少有全面的研究來解釋不同GAN變體之間的聯系以及它們是如何演變的。在本文中，我們嘗試從算法，理論和應用的角度對各種GAN方法進行敘述。首先，詳細介紹了大多數GAN算法的動機，數學表示形式和結構。此外，GAN已與其他機器學習算法結合用于特定應用，例如半監督學習，遷移學習和強化學習。本文比較了這些GAN方法的共性和差異。其次，研究了與GAN相關的理論問題。第三，說明了GAN在圖像處理和計算機視覺，自然語言處理，音樂，語音和音頻，醫學領域以及數據科學中的典型應用。最后，指出了GAN未來的開放研究問題。

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