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許多應用,包括計算機視覺,計算機算法,深度學習,量子信息的糾纏,圖論和能源網絡,都可以在多項式優化的框架內成功解決,多項式優化是一個新興領域,在過去20年的研究越來越多。這些技術的一個關鍵優勢是它們能夠使用優化公式對廣泛的問題進行建模。多項式優化在很大程度上依賴于Lasserre提出的矩-平方和(矩-SOS)方法,該方法為正多項式提供了證明。然而,在實踐方面,天下沒有免費的午餐,這種優化方法通常包含嚴重的可擴展性問題。幸運的是,對于許多應用程序(包括前面提到的那些應用程序),我們可以正視問題,并利用描述問題的成本和約束所產生的固有數據結構。

//www.worldscientific.com/worldscibooks/10.1142/q0382#t=aboutBook

這本書提出了幾個研究努力,以解決這一科學挑戰與重要的計算含義。它提供了可選優化方案的開發,至少在某些已確定的問題類別中,這些方案在計算復雜度方面具有很好的擴展性。它還具有一個統一的建模框架,以處理涉及交換變量和非交換變量的廣泛應用,并解決具體的大規模實例。讀者可以找到一個實用的部分,專門介紹可用的開源軟件庫的使用。這本跨學科專著是學生,研究人員和專業人士的必要閱讀解決優化問題與多項式輸入數據感興趣。

背景知識 Preliminary Background:

  • Semidefinite Programming and Sparse Matrices
  • Polynomial Optimization and the Moment-SOS Hierarchy 相關稀疏 Correlative Sparsity:
  • The Moment-SOS Hierarchy Based on Correlative Sparsity
  • Application in Computer Arithmetic
  • Application in Deep Networks
  • Application in Noncommutative Optimization and Quantum Informatio Term Sparsity:
  • The Moment-SOS Hierarchy Based on Term Sparsity
  • Combining with Correlative Sparsity
  • Application in Optimal Power-Flow
  • Application in Dynamical Systems
  • Alternatives to Sums of Squares Appendix: Software Libraries:
  • Gloptipoly, Yalmip in MATLAB
  • TSSOS in Julia

本書提出了一些研究工作,以解決這一具有重要計算意義的科學挑戰,并提供了替代優化方案的發展,這些方案在計算復雜性方面可以很好地擴展,至少在一些確定的問題類中。

本書提出的算法框架主要利用輸入數據的稀疏性結構來解決大規模多項式優化問題。對于涉及較少項的無約束問題,第一種補救方法是通過丟棄從未出現在平方和分解(SOS)中的項來減小松弛項的大小。該技術基于Reznick [Rez78]的一個結果,包括計算輸入多項式的牛頓多邊形(該多項式支撐的凸包),并只選擇支撐位于該多邊形一半的多項式。

對于無約束或有約束多項式優化問題,我們提出松弛的稀疏利用層次結構。與密集的層次結構相比,它們在實踐中提供了更快的近似解,但也有相同的理論收斂保證。我們的框架不局限于靜態多項式優化,我們揭示了從動力系統分析中產生的感興趣值的近似層次。我們還提出了涉及非交換變量的各種擴展問題,例如任意大小的矩陣或量子物理算符。

在這一點上,我們想強調基于稀疏SOS分解的正性證書的替代方案的存在性。代替用SDP計算SOS分解,我們可以基于線性規劃(LP)計算Bernstein分解或Krivin - Stengle證書的其他正性證書,非負電路的幾何/二階錐規劃和擴展對角優勢SOS,算術幾何指數的相對熵規劃。本書還概述了這些不同的可選分解方法。第二點要強調的是,稀疏性的概念是許多科學領域固有的,我們概述了與本書中提出的算法框架的一些相似和不同之處。在機器學習、統計或信號處理的背景下,利用稀疏性歸結為選擇變量或特征,通常使用“1范數正則化”[BT09]。它通常用于使模型或預測更容易解釋或使用成本更低。換句話說,即使潛在的問題不允許稀疏解,人們仍然希望能夠找到最佳的稀疏近似。類似的情況發生在具有稀疏狀態約束和動力學的動力系統中,其中軌跡集不一定是稀疏的。在代數幾何的背景下,人們考慮了多項式方程的稀疏系統,其中稀疏意味著出現在每個方程中的項集合是固定的。Bernshtein定理[Ber75]是一個關鍵成分,因為它基于描述系統的多項式的牛頓多邊形的混合體積,為期望的復根數提供了精確的界限。我們同樣利用牛頓多面體提供的支持信息來構建基于術語稀疏性的層次結構(在第二部分中介紹)。

本書的組織結構如下:第一章回顧了半定規劃、稀疏矩陣理論的一些初步背景。第二章概述了多項式優化中矩- SOS層次的基本概念。本書的第一部分集中在“相關稀疏性”的概念上,當輸入問題的變量之間的相關性很少時,就會出現相關稀疏性。第三章基于相關稀疏性,討論了矩- SOS層次結構的第一個稀疏變體。第四章解釋了如何應用稀疏矩- SOS層次結構為浮點非線性程序提供有效的舍入誤差上界。第五章重點討論深度神經網絡的魯棒性驗證,特別是通過Lipschitz常數估計。第6章描述了非交換變量多項式優化的一個非常獨特的應用。我們概述了量子信息論的研究前景。

本書的第二部分提出了一個補充框架,在那里我們展示了如何利用一個獨特的稀疏性概念,稱為“術語稀疏性”,當輸入問題中涉及的術語數量很少時,通過與完全密集的情況進行比較,就會出現這種情況。第七章關注矩- SOS層次結構的第二個稀疏變體,基于術語稀疏性。第八章闡述了相關稀疏和術語稀疏的結合。第9章將術語稀疏框架擴展到復雜多項式優化,并展示了結果方案如何處理具有成千上萬個變量和約束的最優問題。第10章將利用項稀疏性的框架擴展到非交換多項式優化(即特征值優化)。第11章是關于這個術語稀疏框架的應用,以分析各種控制系統的穩定性,無論是來自網絡系統文獻或在截止日期約束下的系統。第12章介紹了改進多項式優化方法可擴展性的備選算法。首先,我們提出了基于非負電路多項式和的算法,最近介紹了稀疏多項式的非負證書類,它們獨立于已知的基于平方和的方法。然后,我們概述了現有的加快半定弛豫計算的方法。

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相關內容

 書籍在狹義上的理解是帶有文字和圖像的紙張的集合。廣義的書則是一切傳播信息的媒體。

《信息物理系統》提供了一種獨特的信息物理系統的通用理論,關注物理、數據和決策過程是如何作為一個復雜的整體被連接起來的。信息物理系統(CPS)在具有綜合物理和計算能力的復雜環境中運行。由于能夠通過多種方式與人類進行交互,信息物理系統被應用于物聯網(IoT)設備、智能電網、自動汽車系統、醫療監測和分布式機器人等領域。現有的工程方法能夠解決技術問題,然而CPS在網絡社會中的部署需要一個超越具體研究案例及其相關技術發展的信息物理系統的通用理論。《信息物理系統:理論、方法論和應用》是一本獨特的理論-方法論指南,用于評估由復雜信息處理定義物理過程行為的系統。使用系統的方法,本書描述了控制論的基礎,復雜性科學,系統工程,數據和信息的概念,數據傳播過程,圖論,等等。為讀者提供了一般理論、方法框架和分析工具,以評估和設計用于運輸、能源、通信、衛生保健、軍事和工業的CPS。

  • 為測量不同信息物理系統的性能和評估各種網絡威脅的潛在影響提供了一個框架
  • 提出了一種由獨立但相互依賴的物理層、數據層和調控層組成的CPS理論
  • 討論植根于概率論、信息論、復雜性科學和博弈論的決策方法
  • 幫助讀者對人工智能、5G、能源互聯網、區塊鏈、數據所有權等熱門話題進行系統影響評估
  • 特點是跨不同領域的各種信息物理系統的廣泛分析
  • 信息物理系統:理論、方法和應用是電子、計算機工程和其他技術領域的本科生和研究生、研究人員和實踐者的必讀書籍。

**1 Introduction **

2 System

**3 Uncertainty **

**4 Information **

**5 Network **

**6 Decisions and Actions **

**7 The Three Layers of Cyber-Physical Systems **

8 Dynamics of Cyber-Physical Systems

9 Enabling Information and Communication Technologies

**10 Applications **

11 Beyond Technology

**12 Closing Words **

本書分為三個主要部分,十個核心章節,加上引言和最后一章,最后一章是我的結語。第一部分涵蓋第2章到第6章,重點介紹提出CPSs新理論所需的關鍵概念和理論,這將在第7章和第8章(本書的第二部分)中介紹。第三部分(第9、10和11章)討論了現有的賦能技術、特定的cps及其社會影響。

第1部分從系統開始——第二章的重點,在那里我們將重新審視系統工程的基礎,然后建議按照控制論的方法來劃分特定的系統。第三章通過回顧概率論的基礎和隨機變量的概念,重點討論了如何量化不確定性。在第4章中,我們將首先定義基于不確定性分解的信息概念,然后討論它的不同關鍵方面,包括數據與信息的關系,以及它的基本限制。第五章介紹了圖的數學理論,該理論用于科學地理解從流行病學過程到假新聞傳播等構成網絡結構的相互作用。決定行動的決策是第6章的主題,討論基于不確定性、網絡和信息可用性的不同形式的決策過程。由于決策通常與行動相關聯,因此還引入了代理,作為到第二部分的過渡。

第二部分由兩個密集的章節組成。第七章介紹了CPS的概念,它由三個層次構成,這三個層次相互關聯,形成一個自我發展的系統。第8章進一步探討了CPSs的這一特性,介紹了不同的動態建模方法,指出了性能指標和可能的優化,以及針對不同類型攻擊的脆弱性。有了這些科學抽象,我們將有能力評估現有技術及其潛在影響,這是本書第三部分的重點。

第3部分將介紹具體技術及其影響。第9章介紹了信息通信技術(ICT)對于有希望的cps的廣泛應用所必需的關鍵。第10章的目標是不同的現實世界的應用,按照我們的理論,它們被概念化為cps的實現。第11章專門討論與治理模型、社會影響和軍事用途相關的技術以外的方面。 在每一章的結尾,附有最相關的參考資料的關鍵概念的摘要被提出,然后是為讀者提出的練習,以主動學習如何操作與主要概念。

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這本教科書在機器學習的背景下介紹線性代數和優化。書中提供了例子和練習。每個章節末尾的練習解決方案手冊可供教學指導老師使用。本教材針對計算機科學、數學和數據科學領域的研究生和教授。高級本科生也可以使用本教材。本書各章節的組織方式如下:

1. 線性代數及其應用:章節集中在線性代數的基礎以及它們在奇異值分解、矩陣分解、相似矩陣(核方法)和圖分析方面的常見應用。大量的機器學習應用已經被用作例子,如光譜聚類、基于核的分類和異常值檢測。緊密整合的線性代數方法與例子,從機器學習區分這本書從線性代數的一般卷。重點顯然是機器學習線性代數最相關的方面,并教讀者如何應用這些概念。

2. 優化及其應用:機器學習的大部分內容都是優化問題,其中我們試圖最大化回歸和分類模型的準確性。以優化為中心的機器學習的“父問題”是最小二乘回歸。有趣的是,這個問題在線性代數和優化中都有出現,是連接這兩個領域的關鍵問題之一。最小二乘回歸也是支持向量機、邏輯回歸和推薦系統的起點。此外,降維和矩陣分解的方法也需要優化方法的發展。在計算圖中討論了優化的一般觀點,以及它在神經網絡中的反向傳播的應用。

機器學習初學者經常面臨的一個挑戰是線性代數和優化所需的廣泛背景。一個問題是,現有的線性代數和優化課程并不是針對機器學習的;因此,一個人通常需要完成比機器學習所需的更多的課程材料。此外,優化和線性代數的某些類型的思想和技巧在機器學習中出現的頻率比其他以應用程序為中心的設置更高。因此,發展一種更適合機器學習的特定視角的線性代數和優化的觀點具有重要的價值。

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Convex Optimization: Algorithms and Complexity

本專著介紹了凸優化的主要復雜性定理及其相應的算法。從黑箱優化的基本理論出發,對結構優化和隨機優化的最新進展進行了研究。黑盒優化的介紹,受到Nesterov的開創性著作和Nemirovski的課堂講稿的強烈影響,包括對切割平面方法的分析,以及(加速)梯度下降方案。我們還特別關注非歐幾里得設置(相關算法包括Frank-Wolfe、鏡像下降和雙重平均),并討論它們在機器學習中的相關性。我們溫和地介紹了結構優化與FISTA(優化光滑項和簡單非光滑項的求和),鞍點反射法(Nemirovski的替代Nesterov平滑),以及內部點方法的簡明描述。在隨機優化中,我們討論了隨機梯度下降、小批量、隨機坐標下降和次線性算法。我們也簡要地接觸到組合問題的凸松弛和使用隨機的圓解,以及基于隨機漫步的方法。

//www.nowpublishers.com/article/Details/MAL-050

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全局優化是一個快速發展的領域,在應用數學和物理科學中有著強大的應用。這本書提供了這一領域的全面概述,材料上的關鍵主題,如復雜性;啟發式方法;極小化問題下界的推導分支定界方法和收斂性。最后一章提供了基準測試問題和全局優化的應用,如尋找分子的構造或規劃星際空間旅行的最優軌跡。此外,凸函數和凹函數的基本信息在索引中提供。這本書是為研究生,研究人員,和實踐者尋找困難的優化問題的高級解決方法。它適合作為一個補充文本在一個高級研究生水平的研討會。

這本書致力于全局優化算法,這是為給定問題找到最優解的方法。它特別關注演化計算,通過討論演化算法,遺傳算法,遺傳規劃,學習分類器系統,進化策略,差分演化,粒子群優化,蟻群優化。它還詳細闡述了其他元啟發式算法,如模擬退火、極值優化、Tabu搜索和隨機優化。這本書不是傳統意義上的書:由于頻繁的更新和變化,它不是真正的順序閱讀,而是某種材料收集、百科全書或參考工作,你可以在其中查找內容,找到正確的上下文,并提供基礎知識。

這本書的內容分為四個部分。第一部分將介紹不同的優化技術,并描述它們的特點。為了便于理解,通常會給出一些小例子。在第二部分,從第315頁開始,我們詳細闡述了不同的應用實例。在Sigoa框架中,我們討論了一種用Java實現優化算法的可能方法,并在第3部分(439頁)中展示了如何實現前面問題實例的一些解決方案。最后,在455頁后面的最后一部分,為本書的其余部分提供了背景知識。優化是與隨機密切相關的,因此,可以在這里找到對這一主題的介紹。其他重要的背景信息涉及理論計算機科學和聚類算法。

//www.e-booksdirectory.com/details.php?ebook=19

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//www.worldscientific.com/page/pressroom/2018-07-31-01

這本書提供了一個機器學習和數據挖掘領域的數學分析。典型的計算機科學數學課程的數學分析部分省略了這些非常重要的思想和技術,這些思想和技術對于機器學習的專門領域是不可缺少的,以優化為中心,如支持向量機,神經網絡,各種類型的回歸,特征選擇和聚類。本書適用于研究者和研究生,他們將從書中討論的這些應用領域獲益。

數學分析可以被松散地描述為數學的一個領域,其主要對象是研究函數及其關于極限的行為。術語“函數”指的是實參數實函數的廣義集合,包括函數、運算符、測度等。在數學分析中,有幾個發展良好的領域對機器學習產生了特殊的興趣:拓撲(具有不同的風格:點集拓撲、組合拓撲和代數拓撲),賦范和內積空間的泛函分析(包括巴拿赫和希爾伯特空間),凸分析,優化,等等。此外,像測量和集成理論這樣的學科在統計學中發揮著至關重要的作用,這是機器學習的另一個支柱,在計算機科學家的教育中缺乏。我們的目標是為縮小這一差距做出貢獻,這是對研究感興趣的人的一個嚴重障礙。機器學習和數據挖掘文獻非常廣泛,包括各種各樣的方法,從非正式的到復雜的數學展示。然而,接近研究主題所需要的必要的數學背景通常以一種簡潔和無動機的方式呈現,或者干脆就不存在。本卷機器學習的通常介紹,并提供(通過其應用章節,討論優化,迭代算法,神經網絡,回歸,和支持向量機)的數學方面的研究。

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圖論和組合優化之間的融合已經導致了理論深刻和實際有用的算法,但目前沒有一本書同時涵蓋這兩個領域。《圖論、組合優化和算法手冊》是第一本對圖論和組合優化進行統一、全面處理的書。

地址:

//www.routledge.com/Handbook-of-Graph-Theory-Combinatorial-Optimization-and-Algorithms/Thulasiraman-Arumugam-Brandstadt-Nishizeki/p/book/9781584885955

分為11個章節,集中在圖論,組合優化和算法問題。本書為讀者提供了算法和理論基礎:

理解由圖結構形成的現象 為圖結構的研究開發所需的算法和優化工具 設計和規劃導致某些理想行為的圖形結構

有來自40多個世界各地的專家的貢獻,這本手冊配備讀者必要的技術和工具,以解決各種應用中的問題。讀者可以接觸到圖論和組合優化的廣泛主題的理論和算法基礎,使他們能夠識別(并因此解決)在不同學科中遇到的問題,如電氣、通信、計算機、社會、交通、生物和其他網絡。

圖論和組合優化的研究在過去的三十年左右經歷了爆炸性的增長。電信網絡、大規模集成電路設計等技術突飛猛進;網絡科學等新領域的出現強調了在社會網絡和生物網絡中的應用;理論計算機科學的進步都促進了圖論、組合優化和相關算法問題的興趣和知識的爆炸。因此,毫不奇怪,這些學科已經成為工程和計算機科學課程的中心角色。現在有幾本關于圖論或組合優化的優秀教科書。這些書大致可以分為兩類。第一類是處理圖論或組合優化中所有基本主題的書籍。這些書是供大四本科生和初學研究生使用的教科書。第二類是對某些特定主題進行深入探討的書籍。它們適合那些打算從事圖論或組合優化研究的學生。由于這些學科已經達到了一定的成熟水平,我們認為需要一本對圖論和組合優化提供更廣泛和綜合處理的書。這樣的一本書將幫助學生和研究人員裝備自己的技術和工具,將加強他們的能力,看到機會應用圖論和組合優化解決他們在應用中遇到的問題。我們多年來在教學和應用圖論和組合優化方面的經驗使我們相信,雖然工具和技術能提高一個人解決問題的能力,但更廣泛地接觸它們也能幫助個人看到其他情況下看不到的問題。

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本書由計算理論領域的知名MichaelSipser所撰寫。他以獨特的視角,地介紹了計算理論的三個主要內容:自動機與語言、可計算性理論和計算復雜性理論。作者以清新的筆觸、生動的語言給出了寬泛的數學原理,而沒有拘泥于某些低層次的細節。在證明之前,均有“證明思路”,幫助讀者理解數學形式下蘊涵的概念。本書可作為計算機高年級本科生和研究生的教材,也可作為教師和研究人員的參考書。

//staff.ustc.edu.cn/~huangwc/book/Sipser_Introduction.to.the.Theory.of.Computation.3E.pdf

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Graph Embedding for Combinatorial Optimization: A Survey

作者:Yun Peng、Byron Choi、Jianliang Xu

論文鏈接://arxiv.org/pdf/2008.12646.pdf

摘要:在這篇論文中,香港浸會大學的研究者對近來用于解決組合優化(combinatorial optimization, CO)的圖嵌入方法進行了綜述。大多數圖嵌入方法分為兩個階段:圖預處理和 ML 模型學習。所以,本文也從圖預處理任務和 ML 模型兩個角度來分類圖嵌入工作。此外,本文還總結了近來用于探索圖嵌入的圖組合優化方法。

IsoNN 架構。

使用層級粗化圖(coarsened graph)的圖嵌入。

使用圖嵌入的 CO 方法匯總。

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