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這一系列講座將討論概率模型，并關注來自統計學的問題，機器學習和使用統計物理學工具和技術的約束優化問題。我們的目標是展示統計物理的一些方法是如何推導出許多數學問題的精確答案的。正如阿基米德所指出的，一旦給出了這些答案，即使它們是通過啟發式方法得到的，嚴格地證明它們是更簡單的(但仍然不是微不足道的)。在過去的幾十年里，理論物理和應用數學之間的興趣和方法越來越多，統計物理和計算機科學中的許多理論和應用工作都依賴于自旋玻璃的統計物理的聯系。本講座的目的是介紹進入這一快速發展領域所必需的背景知識。

乍一看，物理學與最小化和概率推理問題有任何聯系似乎令人驚訝。兩者之間的聯系在于吉布斯(或波爾茲曼)分布，這是統計力學的基本對象。從統計和優化的角度來看，我們將對兩類問題感興趣:a)最小化成本函數和b)從分布中抽樣。在這兩種情況下，統計物理學的方法，或者更準確地說是玻爾茲曼測量方法，被證明是方便的。

《統計物理學》中有一部分恰好聚焦于這一課題:無序系統和自旋玻璃領域。自旋玻璃是磁鐵，其中每對粒子之間的相互作用強度是隨機的。從70年代末開始，隨著山姆·愛德華茲爵士和諾貝爾獎得主p·w·安德森的開創性工作，無序系統和自旋玻璃的統計物理學發展成為一種多用途的理論，擁有強大的啟發式工具，如復制和空腔方法。就其本身而言，使用統計物理學方法來研究計算機科學中的一些問題的想法并不新鮮。例如，它是模擬退火的靈感來源。Anderson早在1986年就利用這種聯系來研究優化問題，PI也利用這種聯系成功地研究了隨機滿意度和著色等問題。

在這堂課中，我們希望用一種跨學科的方法來解決這些問題，這將利用數學物理學和統計力學的工具，也利用信息理論和優化的工具。建模策略和分析源于凝聚態物理模型中相變的研究。然而，它的大部分目標和應用屬于機器學習、計算機科學和統計數據處理領域。

這本教科書介紹了Banach空間中優化問題的凸對偶性、積分理論，以及它們在靜態或動態設置中的隨機規劃問題的應用。對隨機規劃的主要算法進行了介紹和分析，并對理論方面進行了細致的論述。 讀者展示了如何這些工具可以應用到各種領域，包括近似理論，半定和二階錐規劃和線性決策規則。 本書推薦給那些愿意用嚴格的方法來研究對偶理論在不確定性優化中的應用中的數學的學生、工程師和研究人員。

凸優化工具箱本章在巴拿赫空間中，通過極大極小法和攝動法，給出優化問題的對偶理論。在一些穩定性(限定)假設下，證明了對偶問題具有一個非空有界解集。這就引出了次微分學，這似乎只是一個偏次微分法則。提供了應用的十進制卷積，以及衰退和透視函數。利用Shapley-Folkman定理，分析了一些非凸問題的松弛性。

半定規劃與半無限規劃本章討論正半定矩陣錐上的最優化問題，以及這類線性問題的對偶理論。我們將凸旋轉不變矩陣函數與譜的凸函數聯系起來;這使得我們可以計算對數勢壘函數的共軛和相關優化問題的對偶。給出了具有非凸二次型代價和約束的半定松弛問題。證明了二階錐優化是半定規劃的一個子類。第二部分研究有限支撐測度空間中的半無限規劃及其對偶問題，并應用于Chebyshev近似和一維多項式優化問題。 集成工具箱本章簡明地介紹了一般測度空間中的積分理論，包括關于積分極限的經典定理。它擴展了在巴拿赫空間中具有值的可測函數所需要的波奇納積分。然后，它展示了如何計算積分泛函的共軛和子微分，無論是在凸情況下，基于凸被積函數理論，或在Carathéodory被積函數的情況下。然后利用Shapley-Folkman定理分析了具有積分代價和約束函數的優化問題。

**風險度量 **將期望最小化幾乎無法控制遠低于期望值的回報的風險。因此，設計函數是很有用的，其最小化將允許人們在風險和期望值之間進行權衡。本章簡要介紹了相應的風險度量理論。在介紹了效用函數之后，引入了風險的貨幣度量，并與它們的接受集相聯系。然后討論了偏差和半偏差的情況，以及(條件)風險值。

抽樣和優化本章討論的不是最小化期望，而是最小化通過獲得獨立事件的樣本得到的樣本近似時會發生什么。該分析依賴于漸近定律理論(δ定理)及其在隨機規劃中的應用。我們將結果推廣到期望約束的情況。

動態隨機優化動態隨機優化問題具有以下信息約束:每個決策必須是相應時刻可用信息的函數。這可以表示為包含條件期望的線性約束。本章在充分觀察狀態的情況下發展了凸問題的相應理論。由此得到的最優系統涉及一個后向共態方程，控制變量是某個哈密頓函數的最小值點.

馬爾可夫決策過程

本章考慮一個受控馬爾可夫鏈過程的最小回報期望問題，無論是有限范圍的馬爾可夫鏈過程，還是有折扣的無限馬爾可夫鏈過程，包括退出時間和停止決策的情況。比較了值和策略(Howard)迭代。對于具有期望約束、局部觀察的問題，對于具有無折現代價的大視界問題的遍歷情況，給出了這些結果的推廣。 算法對于凸的動態隨機優化問題，Bellman函數是凸的，可以近似為仿射函數的有限上極值。從靜態和確定性問題開始，展示了這如何導致有效的隨機對偶動態規劃算法。本章第二部分討論了線性決策規則的一種很有前途的方法，它使我們可以得到隨機優化問題的值函數的上下界。

廣義凸性與運輸理論

本章首先介紹了用任意集上的一般耦合函數代替對偶積時凸性理論的推廣。優化問題的Fenchel共軛、循環單調性和對偶性的概念，對這種設置有一個自然的擴展，其中增廣拉格朗日方法有一個自然的解釋。度量空間上的凸函數，構造為連續函數的積分函數的Fenchel共軛，有時被證明等于其密度的函數的某個積分。這被用于在緊集上的最優運輸理論的表述，以及相關的懲罰問題。本章最后討論了多傳輸環境。

自1948年引入信息論以來，信息論已被證明在分析與壓縮、存儲和傳輸數據有關的問題方面起著重要作用。例如，信息論允許分析數據通信和壓縮的基本限制，并在幾十年的實際通信系統設計中發揮了作用。近年來，在使用信息理論方法解決數據壓縮、數據通信和網絡之外的問題方面出現了復興，例如壓縮感知、數據獲取、數據分析、機器學習、圖挖掘、社區檢測、隱私和公平。在這本書中，我們探索了信號處理、機器學習、學習理論和統計的接口上的一系列廣泛的問題，其中源自信息論的工具和方法可以提供類似的好處。幾十年來，信息論在這一界面上的作用確實得到了承認。一個突出的例子是在1980年代使用互信息、度量熵和容量等信息理論量來建立估計的極大極小率。在這里，我們打算探索這個界面的現代應用，這些應用正在塑造21世紀的數據科學。

當然，標準信息理論工具與信號處理或數據分析方法之間有一些顯著的差異。從整體上說，信息論傾向于關注漸近極限，使用大的塊長度，并假設數據是由有限的比特數表示，并通過一個噪聲信道觀看。標準結果不關心復雜性，而是更多地關注通過可實現性和反向結果表征的基本限制。另一方面，一些信號處理技術，如采樣理論，專注于離散時間表示，但不一定假設數據是量化的或系統中有噪聲。信號處理通常關注的是最優的具體方法，即達到開發的極限，并具有有限的復雜性。因此，很自然地將這些工具結合起來，以解決更廣泛的問題和分析，包括量化、噪聲、有限樣本和復雜性分析。

這本書的目的是為新興的數據科學問題的信息理論方法的最近的應用提供一個綜述。本書的潛在讀者可能是信息理論、信號處理、機器學習、統計學、應用數學、計算機科學或相關研究領域的研究人員，或尋求了解信息理論和數據科學并在此界面上找出開放問題的研究生。本卷的特殊設計確保它可以作為研究人員和學生的教科書的最先進的參考。

這本書包含了16個不同的章節，由世界范圍內公認的領先專家撰寫，涵蓋了信號處理、數據科學和信息論界面上的各種各樣的主題。本書以信息理論的介紹作為其余章節的背景開始，也設置了貫穿全書使用的符號。接下來的章節被分為四類: 數據獲取(第2-4章)，數據表示和分析(第5-9章)，信息論和機器學習(第10和11章)，以及信息論、統計和壓縮(第12-15章)。最后一章，第16章，通過對范諾不等式在一系列數據科學問題中的調研，將本書的幾個主題聯系起來。章節是獨立的，涵蓋了各自主題的最新研究結果，并且可以彼此獨立地處理。

強化學習是一種學習范式，它關注的是如何控制一個系統，從而最大化一個表示長期目標的數值性能度量。強化學習與監督學習的區別在于，對于學習器的預測，只會給予部分反饋。此外，這些預測可能通過影響被控制系統的未來狀態而產生長期影響。因此，時間扮演著特殊的角色。強化學習的目標是發展有效的學習算法，以及了解算法的優點和局限性。強化學習之所以引起人們極大的興趣，是因為它可以用于解決大量的實際應用，從人工智能到運籌學或控制工程的問題。在這本書中，我們專注于那些建立在強大的動態規劃理論基礎上的強化學習算法。我們給出了一個相當全面的學習問題的目錄，描述了核心思想，關注大量的最先進的算法，然后討論了它們的理論性質和局限性。

//sites.ualberta.ca/~szepesva/rlbook.html

本書提供了分布式優化、博弈和學習的基本理論。它包括那些直接從事優化工作的人，以及許多其他問題，如時變拓撲、通信延遲、等式或不等式約束，以及隨機投影。本書適用于在動態經濟調度、需求響應管理和智能電網插電式混合動力汽車路由等領域使用分布式優化、博弈和學習理論的研究人員和工程師。

無線技術和計算能力的進步使得理論、模型和工具的發展成為必要，以應對網絡上大規模控制和優化問題帶來的新挑戰。經典的優化方法是在所有問題數據都可用于集中式服務器的前提下工作的。然而，這一前提不適用于由電力系統、傳感器網絡、智能建筑和智能制造等應用驅動的分布式環境中的大型網絡系統。在這樣的環境中，每個節點(agent)根據自己的數據(信息)以及通過底層通信網絡從相鄰的agent接收到的信息進行本地計算，從而分布式地解決大規模控制和優化問題。最終，集中式優化方法必然會走向衰落，從而產生一種新的分布式優化類型，它考慮了多個agent之間的有效協調，即所有agent共同協作，使一個局部目標函數之和的全局函數最小化。

本書研究了近年來分布式優化問題中的幾個標準熱點問題，如無約束優化、有約束優化、分布式博弈和分布式/分散學習等。為了強調分布式優化在這些主題中的作用，我們將重點放在一個簡單的原始(次)梯度方法上，但我們也提供了網絡中其他分布式優化方法的概述。介紹了分布式優化框架在電力系統控制中的應用。這本書自然主要包括三個部分。第一部分討論了分布式優化算法理論，共分為四章:(1)多智能體時滯網絡中的協同分布式優化;(2)時變拓撲多智能體系統的約束一致性;(3)不等式約束和隨機投影下的分布式優化;(4)隨機矩陣有向圖上的加速分布優化。第二部分作為過渡，研究了分布式優化算法理論及其在智能電網動態經濟調度問題中的應用，包括兩章:(5)時變有向圖約束優化的線性收斂性;(6)時變有向圖上經濟調度的隨機梯度推動。第三部分對分布式優化、博弈和學習算法理論進行了分析和綜合，本部分所有算法都是針對智能電網系統內的特定案例場景設計的。本部分共分三章:(7)智能微電網能源交易博弈中的強化學習;(8)不完全信息約束博弈的強化學習;(9)基于擁塞博弈的插電式混合動力汽車路徑選擇強化學習。其中，給出了仿真結果和實際應用實例，以說明前面提出的優化算法、博弈算法和學習算法的有效性和實用性。

藍光輝教授的專著系統地介紹了機器學習算法基礎概念和近期進展，尤其是基于優化方法的算法。 機器學習算法領域近期出現了大量研發進展，但目前社區尚缺乏對機器學習算法基礎概念和近期進展的系統性介紹，尤其是基于隨機優化方法、隨機算法、非凸優化、分布式與在線學習，以及無投影方法的機器學習算法。

佐治亞理工終身教授藍光輝出版的一本關于機器學習算法的專著《First-order and Stochastic Optimization Methods for Machine Learning》。

這本專著具備以下特點：

• 覆蓋從基礎構造塊到精心設計的復雜算法等詳實內容；
• 用教程的形式介紹了機器學習算法領域的近期進展；
• 面向機器學習、人工智能和數學規劃社區的廣大研究人員；
• 每一章節后都附有練習。

系統梳理優化算法的進展

在該書序言部分，藍光輝教授介紹了寫作此書的初衷：

優化在數據科學中一直發揮重要作用。很多統計和機器學習模型的分析與解決方法都依賴于優化。但是，近期社區對計算數據分析優化的興趣往往伴隨著一些難題。高維度、大型數據規模、內在不確定性、無法避免的非凸問題，以及實時和分布式設置的要求，給現有的優化方法帶來了大量困難。 在過去十年中，為解決以上挑戰，優化算法在設計和分析方面出現了巨大進步。然而，這些進步分散在多個不同學科的大量文獻中，缺乏系統性的梳理。而這使得年輕研究人員更難進入優化算法領域，更難構建必要的基礎知識、了解目前的前沿成果，以及推動該領域的發展。 這本書嘗試用更有條理的方式介紹領域進展，主要聚焦于已得到廣泛應用或具備大規模機器學習和數據分析應用潛力的優化算法，包括一階方法、隨機優化方法、隨機和分布式方法、非凸隨機優化方法、無投影方法，以及算子滑動和分散式方法。 本書的寫作目標是介紹基礎算法機制，它們能在不同環境設置下提供最優性能保障。不過在探討算法之前，本書首先簡要介紹了多個常見的機器學習模型和一些重要的優化理論，希望借此為初學者提供良好的理論基礎。

此外，藍教授表示這本書的目標讀者是對優化算法及其在機器學習和人工智能中的應用感興趣的研究生和高年級本科生，也可以作為更高階研究人員的參考書目。這本書的最初版本已經作為佐治亞理工學院高年級本科生和博士課程的教材。

核心內容

這本書共包括八個章節，涵蓋機器學習模型、凸優化、非凸優化、無投影方法等內容，是對優化算法近期進展的一次系統性梳理。

書籍鏈接：//www.springer.com/gp/book/9783030395674

作者簡介

本書作者藍光輝教授，博士畢業于佐治亞理工學院，目前任教于佐治亞理工 H. Milton Stewart 工業和系統工程學院。此外，他還擔任《Computational Optimization and Applications》、優化算法頂級期刊《Mathematical Programming》和《SIAM Journal on Optimization》等雜志的副主編，是國際機器學習和深度學習算法方向的頂級專家。

藍光輝教授專注于計算機科學領域的基礎研究，他的研究方向包括：隨機優化和非線性規劃的理論、算法和應用，包括隨機梯度下降和加速隨機梯度下降，以及用于解決隨機凸和非凸優化問題。

優化和機器學習的相互作用是現代計算科學最重要的發展之一。優化的公式和方法在設計從大量數據中提取基本知識的算法方面被證明是至關重要的。然而，機器學習并不僅僅是優化技術的消費者，而是一個快速發展的領域，它本身也在產生新的優化思想。這本書以一種對兩個領域的研究人員都可訪問的方式捕獲了優化和機器學習之間交互的藝術的狀態。

優化方法因其廣泛的適用性和吸引人的理論特性而在機器學習中占有重要地位。當今機器學習模型的復雜性、規模和多樣性日益增加，需要對現有假設進行重新評估。這本書開始了重新評估的過程。它描述了在諸如一階方法，隨機近似，凸松弛，內點方法，和近端方法等已建立的框架。它還專門關注一些新的主題，如正則化優化、魯棒優化、梯度和次梯度方法、分裂技術和二階方法。其中許多技術的靈感來自其他領域，包括運籌學、理論計算機科學和優化子領域。這本書將豐富機器學習社區和這些其他領域以及更廣泛的優化社區之間正在進行的交叉發展。

這本書的重點是面向深度不確定性下關于決策的理論和實踐的相關工具和方法。它探討了在深度不確定性下支持戰略計劃設計的方法和工具，以及它們在現實世界中的測試，包括在實踐中使用它們的障礙和促成因素。這本書擴展了傳統的方法和工具，包括與手頭的問題相關的行為和網絡的分析。它還展示了如何利用應用過程中獲得的經驗教訓來改進設計過程中使用的方法和工具。這本書提供了識別和運用適當的方法和工具來設計計劃的指導，以及在現實世界中實施這些計劃的建議。對于決策者和實踐者，這本書包括現實的例子和實用的指導方針，應該幫助他們理解在深度不確定性下的決策是什么，以及它可能如何幫助他們。

深度不確定性下的決策: 從理論到實踐分為四個部分。第一部分介紹了在深度不確定性下設計策略計劃的五種方法: 穩健決策、動態適應規劃、動態適應策略路徑、信息缺口決策理論和工程選項分析。每種方法都是根據其理論基礎、使用方法時要遵循的方法學步驟、最新的方法學見解和改進的挑戰來制定的。在第二部分中，將介紹每一種方法的應用。基于最近的案例研究，運用每種方法的實際意義被深入討論。第三部分基于對真實世界案例的理解，重點關注在真實世界的環境中使用這些方法和工具。第四部分包含結論和綜合可以為設計、應用和執行深度不確定性下的策略計劃而得出的教訓，以及對未來工作的建議。